Función Lineal

01 · Definición

Ecuación explícita de la recta

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La función lineal (o ecuación explícita de la recta) es:

$$ f(x) = a \cdot x + b $$

Donde $a$ y $b$ son parámetros reales que determinan completamente la recta.

¿Qué hace cada parámetro?

Parámetro	Nombre	¿Qué controla?
$a$	Pendiente	La inclinación. Si $a > 0$ la función crece; si $a < 0$ decrece.
$b$	Ordenada al origen	Valor de $y$ cuando $x = 0$. Es donde la recta corta el eje $y$.

Ordenada al origen $b$: punto de corte con el eje $y$. Se halla evaluando $f(0) = b$.

Raíz: valor de $x$ tal que $f(x) = 0$. Es donde la recta corta el eje $x$. Se halla igualando $ax + b = 0$.

Gema

¡Dato clave! Si b = 0 la recta pasa por el origen. La ordenada y la raíz coinciden en (0, 0), así que para graficar tenés que usar la pendiente como "escalerita" para ayudarte.

02 · Fórmula

Cálculo de la pendiente

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Dados dos puntos $P_1 = (x_1,\, y_1)$ y $P_2 = (x_2,\, y_2)$ pertenecientes a la recta:

$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

$\Delta y$: cambio vertical (cuánto sube o baja $y$).

$\Delta x$: cambio horizontal (cuánto avanza $x$).

La pendiente indica cuánto varía $y$ por cada unidad de $x$.

Ecuación con un punto y la pendiente

Conociendo el punto $P_0 = (x_0, y_0)$ y la pendiente $a$:

$$ y = a(x - x_0) + y_0 $$

Luego simplificás y llegás a la forma $y = ax + b$.

Elvira

La pendiente es una razón: cuánto cambia $y$ por cada unidad de $x$. Si es positiva: la recta sube. Si es negativa: la recta baja (siempre analizando de izquierda a derecha. Y en caso de que la pendiente de cero: la recta es horizontal.

03 · Ejemplos resueltos

Graficación de rectas

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Ejemplo 1 — Graficar con raíz y ordenada al origen

Graficar $ f(x) = 2x + 3 $

Paso 1 · Identificar parámetros

$a = 2 > 0$ (crece)

$b = 3$ → Ordenada al origen

Paso 2 · Chequeamos Ordenada al origen con $x = 0$

$f(0) = 3$ → punto $(0,\,3)$

Paso 3 · Buscamos la Raíz haciendo $y = 0$

$0 = 2x + 3 \implies x = -\dfrac{3}{2}$ → punto $\left(-\dfrac{3}{2},\,0\right)$

Paso 4 · Gráfico

Ejemplo 2 — Ordenada cero: usar $\Delta y / \Delta x$

Graficar $ f(x) = -\dfrac{3}{2}\,x $

Paso 1 · Parámetros

$a = -\dfrac{3}{2} < 0$ (decrece)

$b = 0$ → pasa por el origen $(0,0)$

Paso 2 · Segundo punto con la razón

$a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-3}{2}$: $\Delta x = 2$ , $\Delta y = -3$, por cada 2 unidades que avanzo de $x$, bajo 3 de $y$.

Segundo punto: $(0+2,\; 0+(-3)) = (2,\,-3)$

Gema

¡Truco para $b=0$! La recta pasa por el origen. Usá la pendiente como "receta": si $a=-3/2$, avanzá 2 en $x$ y bajá 3 en $y$. Eso te da el segundo punto y ya podés trazar la recta.

04 · Ejemplos resueltos

Recta que pasa por dos puntos

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Ejemplo 3 — Recta por $P_1 = (2,\,-1)$ y $P_2 = (-3,\,4)$

Paso 1 · Pendiente

$$ a = \frac{4 - (-1)}{-3 - 2} = \frac{5}{-5} = -1 $$

Paso 2 · Hallar b usando $P_1 = (2,\,-1)$

Con $y = -x + b$:

Reemplazamos $x$ e $y$ por los valores del punto, es decir: $x=2$, $y=-1$

$$ -1 = -1 \cdot (2) + b $$ $$ \implies b = 1 $$

Paso 3 · Ecuación Explicita

$$ f(x) = -x + 1 $$

Paso 4 · Verificar con $P_2=(-3,4)$

$f(-3) = -(-3) + 1 = 4$ $\checkmark$

Paso 5 · Raíz

$$ 0 = -x + 1 \implies x = 1 $$

Elvira

Siempre verificá con el segundo punto antes de dar la recta por terminada. Si $f(x₂)$ no da $y₂$, revisá el orden en la resta de la pendiente.

05 · Teoría y ejemplos

Rectas paralelas y perpendiculares

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Rectas paralelas

$L_1 \parallel L_2 \iff a_1 = a_2$

Es decir, dos rectas son paralelas si tienen misma pendiente, pero distinta ordenada al origen.

Ejemplo 4 — Hallar la Recta Paralela a $2x - 2y = 4$ que pasa por $(1,\,4)$

Paso 1 · Forma explícita de la recta dada: despejamos "y"

$$ 2x - 2y = 4 $$ $$y = x - 2$$ $$\implies a_1 = 1 $$

Paso 2 · Misma pendiente: $a_2 = 1$. Buscamos $b$ ayudandonos con el punto $P=(1,\,4)$

$$ y= -x + b $$ $$ 4 = 1 \cdot(1) + b$$ $$\implies b = 3 $$

$$ L_2:\; y = x + 3 $$

Rectas perpendiculares

$L_1 \perp L_2 \iff a_1 \cdot a_2 = -1 \iff \boxed{a_2 = -\dfrac{1}{a_1}}$

Es decir, dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y opuestas.

Regla práctica: "invertí la fracción y cambiá el signo".

Ejemplo 5 — Hallar la recta perpendicular a $2y - x + 2 = 0$ que pasa por el punto $P=(3,\,1)$

Paso 1 · Encontrar la forma explícita de $L_1$

$$ 2y = x - 2 $$ $$ y = \frac{1}{2}x - 1 $$ $$\implies a_1 = \frac{1}{2} $$

Paso 2 · Hallar la pendiente perpendicular

$$ a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{\tfrac{1}{2}} $$ $$ a= -2 $$

Paso 3 · Hallar $b$ reemplazando el punto en la recta $P=(3,1)$

$$ y= -2x + b $$ $$1 = -2 \cdot (3) + b $$ $$\implies b = 7 $$

$$ L_2:\; y = -2x + 7 $$

Gema

Regla nemotécnica para recordar rectas perpendicular: "invertí la fracción y cambiá el signo". Si $a_1 = 3/4 → a_2 = −4/3$. Si $a_1 = −2 → a_2 = 1/2$. Siempre debe cumplirse que $a_1 · a_2 = −1$.

06 · Advertencias

Errores típicos

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Error 1 · Confundir raíz con ordenada al origen

La raíz es el $x$ tal que $f(x)=0$ (corte eje $x$). La ordenada es $f(0)=b$ (corte eje $y$). Son cosas distintas.

Error 2 · Invertir la fracción en la pendiente

La fórmula es $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Si invertís, obtenés el recíproco y la recta sale incorrecta.

Error 3 · Leer la pendiente de una forma implícita sin despejar

En $2x - 3y = 6$, la pendiente no es 2. Primero despejar $y$: $y = \dfrac{2}{3}x - 2$, entonces $a = \dfrac{2}{3}$.

Error 4 · Perpendicular: solo invertir sin cambiar el signo

Para perpendiculares hay que hacer las dos cosas: invertir la fracción Y cambiar el signo. Si solo hacés una, $a_1 \cdot a_2 \neq -1$.

Error 5 · Creer que b=0 significa que la recta no tiene ordenada

La ordenada es cero, y la recta pasa exactamente por el origen. No es un caso indefinido.

Elvira

El Error 3 es el más frecuente en los parciales. Cada vez que te den una ecuación con $x$ e $y$ juntos, lo primero es despejar $y$ antes de leer la pendiente.

07 · Verificación

Checklist antes de entregar

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Forma explícita. ¿La ecuación está en la forma $y = ax + b$?

Parámetros. ¿Identificaste correctamente $a$ y $b$?

Ordenada al origen. ¿Se obtiene evaluando $f(0) = b$?

Raíz. ¿Se halla igualando $f(x) = 0$ y despejando $x$?

Verificación con dos puntos. Si usaste dos puntos para la pendiente, ¿verificaste con el segundo?

Razón $\Delta y/\Delta x$. Si $b=0$, ¿aplicaste bien la pendiente como razón para el segundo punto?

Paralelas. ¿Confirmaste que $a_1 = a_2$?

Perpendiculares. ¿Verificaste que $a_1 \cdot a_2 = -1$?

Ecuación implícita. ¿Despejaste $y$ antes de leer la pendiente?

08 · Ejercitación

Práctica

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1. Para $f(x) = 3x - 6$: identificá $a$ y $b$, hallá raíz y ordenada al origen. ▼

$a = 3$, $b = -6$.

Ordenada: $f(0) = -6$ → punto $(0,\,-6)$.

Raíz: $0 = 3x - 6 \Rightarrow x = 2$ → punto $(2,\,0)$.

2. Graficá $f(x) = -\dfrac{1}{2}x$ usando la pendiente como razón. ▼

$a = -\dfrac{1}{2}$, $b = 0$ → pasa por el origen.

Por cada $\Delta x = +2$, $\Delta y = -1$. Segundo punto: $(2,\,-1)$.

3. Hallá la recta que pasa por $A = (1,\,5)$ y $B = (3,\,1)$. ▼

$a = \dfrac{1-5}{3-1} = -2$. Con $A$: $5 = -2 + b \Rightarrow b = 7$.

$f(x) = -2x + 7$.

4. Hallá una recta paralela a $y = 4x - 1$ que pase por $(2,\,3)$. ▼

$a = 4$. Con $(2,3)$: $3 = 8 + b \Rightarrow b = -5$.

$y = 4x - 5$.

5. Hallá la recta perpendicular a $3x - y = 2$ que pase por $(-1,\,4)$. ▼

Forma explícita: $y = 3x - 2 \Rightarrow a_1 = 3$.

$a_2 = -\dfrac{1}{3}$. Con $(-1,4)$: $4 = \dfrac{1}{3} + b \Rightarrow b = \dfrac{11}{3}$.

$y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{11}{3}$.

6. ¿Son paralelas, perpendiculares o ninguna: $L_1: 2x + 4y = 8$ y $L_2: y = \dfrac{1}{2}x + 3$? ▼

$L_1: y = -\dfrac{1}{2}x + 2 \Rightarrow a_1 = -\dfrac{1}{2}$. $a_2 = \dfrac{1}{2}$.

$a_1 \cdot a_2 = -\dfrac{1}{4} \neq -1$ y $a_1 \neq a_2$.

Conclusión: se cortan sin relación especial.

Parámetro	Nombre	¿Qué controla?
\(a\)	Pendiente	La inclinación. Si \(a > 0\) la función crece; si \(a < 0\) decrece.
\(b\)	Ordenada al origen	Valor de \(y\) cuando \(x = 0\). Es donde la recta corta el eje \(y\).

¿Qué hace cada parámetro?

Ecuación con un punto y la pendiente

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

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